Consideriamo la curva che hai postato inizialmente.
Nella parte a destra del punto nero, la concavità è rivolta verso l’alto.
Nella parte a sinistra del punto nero, la concavità è rivolta verso il basso.
Questo vuole dire che nel punto nero la curvatura si deve annullare.
Il punto in cui si annulla è chiamato punto di flesso, lì la curvatura è nulla, il cerchio osculatore ha raggio infinito, la curva è “piatta”.
Fai una prova al volo con GH.
Usa il componente Curvature e controlla con un pannello i risultati.
Quello che indicano i punti è spiegato bene nell’help del comando.
Il concetto è che la curvatura è misurabile come l’inverso del raggio del cerchio osculatore in un determinato punto.
Per un tratto piano il cerchio osculatore ha raggio infinito e, di conseguenza, la curvatura è nulla … cosa che si comprende intuitivamente.
Nei punti di flesso, quindi, la curvatura è nulla.
Di norma si associa la curvatura nulla alla derivata seconda nulla, cosa non proprio corretta.
E qui vorrei approfittare della tua abilità nella programmazione di GH … se sei d’accordo ovvio.
Traccia una curva (_Curve) con grado almeno tre e impostala come “amica delle SubD” … da R7 in poi è possibile.
Come noto, Rhino inserisce due punti di controllo particolari che sono visibili ma non gestibili dall’utente.
I due punti sono posizionati sulla congiungente i due primi punti di controllo gestibili, in modo che il segmento tra i due sia diviso in un rapporto uno a due.
Questa configurazione pone la curva nella condizione definita “naturale”.
Importala i GH e usa i componenti Curvature e Derivative, per quest’ultimo imposta il calcolo della derivata seconda.
Verifica i valori della curvatura e della derivata seconda negli estremi della curva.
Credo dovresti trovare valori nulli.
Ora chiedi a Rhino di trasformare la curva in modo che non sia più amica delle subd.
La forma non cambia ovviamente, ma i due punti di controllo di cui detto, ora sono normalmente gestibili.
Concentriamoci solo su un lato della curva, per l’altro vale lo stesso.
Sposta il punto di controllo prima non gestibile lungo la congiungente i primi due punti di controllo gestibili, dove vuoi e ricontrolla con Gh
Dovresti trovare la curvatura nulla ma non nulla la derivata seconda.
Se questo accade, direi che dovremo cominciare a mettere in dubbio l’associazione “derivata seconda nulla” = “curvatura nulla”.
In teoria infatti, la curvatura, nel caso in cui la nostra curva fosse espressa dal grafico della funzione f(x), sarebbe k=f’‘(x)/(1+f’(x)^2)^3/2.
Tra le altre cose, questa formula, ci dice una cosa interessante che abbiamo usato nelle nostre considerazioni: il segno della derivata seconda è uguale al segno della curvatura … detto così non sembra molto ma ci permette di stabilire la concavità o la convessità della curva.