giusto per completezza:
se mi confondo darĆ² la colpa allāora tardi 
da quello che ho capito, la prima espressione mi crea la curva (verde)
mentre la seconda mi trovo la derivata (rossa)
la terza quella (rosa) ĆØ ultima formula postata
ma si stava parlando sempre su come trovare i punti Quad di una curva di 3Ā°
grado quindi con 4 punti di controllo, tramite uso di una formula dāespressione?
una formula che desse un risultato come questo ma su una curva di grado 3 con 4 punti di controllo.
Prima cosa: questa eā sbagliata 
Va scritta con la Y, non con la P.
Dopo vediamo percheā
OK
Hai notato che la terza genera la stessa curva della seconda, solo scalata di \frac{1}{3} ?
Questo percheā eā la stessa espressione senza il 3 iniziale.
Tu di solito vuoi solo le formule, ma quando il risultato prevede piuā di una semplice formula dobbiamo organizzare un poā la faccenda, percheā fare il burattinaio non mi diverte ā¦ 
Prima questione:
Qui, come esempio, cerchiamo i punti Quad corrispondenti ai punti sulla curva con valori di Y minimi e massimi.
Questo eā chiaro ?
al volo e di fretta avevo letto burattino, mi ero chiesto perchĆ© una frase simile, ritenendo che qui non cāĆ© nessun burattino e nessun burattinaio, ma solo persone con la stessa passione a cui piace parlarne.
poi rileggendola meglio ho letto burattinaio, presumo che intendi nel guidare a comprendere lungo il tragitto, se questo il senso, credo che capire una cosa che non si conosce ĆØ impossibile, infatti ho accettato il consiglio dato, di prendere per buona e utilizzare la soluzione cosƬ comāĆ©, e quello ho fatto tutto qua. . .
conosco i miei limiti, quello che posso fare o meno. so anche che ho la testa dura, e confido che pian piano come tante cose apprese nella programmazione, anche queste col tempo diventeranno famialiari
bando alle ciance, e torno sullāargomento:
mi sembrava che ci mancasse qualcosa, ci vorrebbe la potenza tra t^2 giusto?
non avevo collegato al 3 quindi di \frac{1}{3} scalato ma che era lo stesso risultato si questo lo avevo notato
nellāultimo compenente ho inserito i valori Y dei 4 punti, mentre la formula dellāespressione lo lasciata intatta cosƬ comāera e mi ritorna una serie di valori numerici
Esatto sarebbe il risultato da ottenere. . .
Voglio dire che, quando la procedura da seguire ha una certa complessitaā, indicare le operazioni da fare, una per volta mentre tu le esegui, ma senza riuscire a trasmettere il significato dellāintera procedura secondo me ha poco senso.
Per quello, visto che siamo passati da calcolare i punti di una curva tramite unāunica espressione a cercare minimi e massimi per curve di terzo grado, preferisco romperti le scatole e cercare di spiegare il senso delle varie operazioni che stiamo facendo.
Eseguire operazioni senza capirne la logica non mi sembra utile per imparare.
Fare la stessa cosa conoscendo lo scopo dei vari passaggi, secondo me invece serve. 
OK, quello eā vero, ma io dicevo unāaltra cosa:
EDIT:
No, mi hai fregato ā¦ 
Hai copiato la formula formattata con LaTeX ā¦ e certo che non ci vedi il ā^ā ā¦
/ EDIT
Avendo usato le Y al posto dei punti (cioeā i CV), invece di restituire i punti (che in realtaā sarebbero vettori) che disegnano la curva della derivata, ti daā solo le Y di quei vettori.
Ma prima dobbiamo capire percheā stiamo utilizzando quella formula.
Perfetto.
Adesso, come facciamo a individuare quei punti ?
Risposta: ragionando sul grafico della curva vediamo che in quei punti la tangente alla curva eā parallela allāasse X, cioeā la direzione della tangente ha una componente Y pari a zero.
(ragioniamo in 2 dimensioni per semplicitaā, scordiamoci la Z)
Anche questo eā chiaro ?
aaaa ecco cosāera che ieri non mi quadrava, io ricordavo di averla vista bene, i caratteri erano quelli ma qualcosa non mi convinceva: infatti t{^2} ĆØ diverso da t2 senza formattazione ahahahah
lungi da me dare fregature, anzi a questo punto direi che la fregatura me la data la formattazione a me
Perfettissimo
con il ragionamento ci siamo, adesso mi manca come fare ciĆ² usando le formule delle espressioni
e credo non solo questo, ma anche combinare il tutto con i 4 punti come nellāesempio sotto a 3 CV
ps
quindi, la tua prefazione, rispecchia ciĆ² che io avevo inteso, che fare senza capire non si va avanti,
e anche su questo non posso che essere pienamente daccordo come appunto dicevo. . .
Emilio per me il discorso che hai fatto va benissimo, solo una cosa, voglio prima ragguagliati bene su quello che stai facendo, ovviamente lo fai a tuo rischio e pericolo, se non ci capisco nulla poi non ti arrabbiare con me ahahahah giĆ sento le risate di Sergio e Fabio che dicono:
lo avevamo detto noi che era meglio dargli solo le formule
battute a parte, forza mettiamoci a lavoro e troviamo questi Quad in una curva con 4 CV di 3Ā° grado. . .
Hehe ā¦
Il fatto eā che se si tratta di una sola formula, va tutto bene.
Ma quando la cosa si complica ā¦
Ho anche provato a scrivere solo le formule, qui:
Ma se non sai percheā stai scrivendo quelle cose, eā molto facile perdere il filo ā¦
OK
Allora come facciamo a trovare i valori dove la tangente ha componente Y = 0 ?
Serve la derivata.
Ora, senza cercare di spiegare la derivata (se ti interessa, chiamiamo Fabio ), dico solo che la derivata indica la variazione di qualcosa.
Ad esempio la velocitaā eā la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo.
Qui la derivata della nostra Nurbs di terzo grado indica la variazione del punto (sulla curva) al variare del parametro t. Cioeā la direzione verso cui āvaā la curva.
Ma eā solo per dare unāidea alla buona.
Quello che conta sapere (e ricordarsi) eā che la derivata della curva eā un vettore parallelo alla tangente alla curva.
Quindi calcolando la derivata otteniamo la tangente.
E dato che noi cerchiamo i punti in cui la tangente ha Y nulla, per trovarli cerchiamo i punti in cui la derivata ha componente Y nulla.
Eā chiaro ?
Questo passaggio mi sembra giaā piuā complesso.
Ma eā sempre cosiā ā¦ allāinizio eā tutto facile, poi arrivano gli impicci ā¦
a riportarla credo che dovrebbe andare bene, spero che siano i valori 1 2 3 4 che danno il risultato 0 ?
ps non solo non so il perchƩ, nel senso effetto che ha una operazione singolarmente,
ma cosa piĆ¹ importante e che non so nemmeno quale risultato finale produce. . .
Allora non era proprio incomprensibile ā¦
Bene !
Con valori Y dei CV 1, 2, 3, 4 eā logico che non ci siano dei Quad. La curva sale sempre.
Ci vuole una curva con una forma adeguata ā¦ tipo questa:
Invece di scrivere le Y a mano, potresti costruire la curva usando dei punti come CV,
cosiā trascini i punti in su e in giuā e vedi cosa succede.
Dicevoā¦
Cioeā ottieni i valori della t, cioeā del parametro della curva.
Se li passi allāespressione della curva ottieni i due punti.
( Eā dallāinizio della discussione che la t rappresenta sempre il valore del parametro.
Non eā cambiato niente ā¦ )
Esattamente come qui avevamo ricavato il valore di t e quindi il punto sulla curva.
Il calcolo che stiamo facendo per la BĆ©zier di terzo grado eā lo stesso che quella definizione fa per la BĆ©zier di secondo grado.
I calcoli sono piuā complesso percheā il grado eā cresciuto, ma la procedura eā esattamente la stessa.
Convinto ?
seguo il discorso ma non mi torna il fatto che io adesso ho un punto CV in piĆ¹
quindi a differenza dellāesempio dove il grado ĆØ 2 e i CV sono 3
qui mi trovo con una cruva di grado 3 e 4 CV
debbo aggiungere unāaltro componente decostruttore punto per prendermi il 4Ā° valore Y, ed aggiungerlo
al componente Expression ovviamente quello centrale ed eseguire altre operazioni?
altrimenti mi vien da pensare che debbo Shiftare i punti?
nel senso: i primi 3 Cv applico la formula, poi salto il primo e faccio lo stesso dal 2Ā° al 4Ā°?
non so ho dei dubbi su questo, anche perchĆ© se sarebbe il ragionamento corretto dovrebbe fare con i gruppi di 4 CV essendo che una curva di 3Ā° grado richiede 4 punti CV quindi i primi 4 poi dal 2Ā° al 5Ā° dal 3Ā° al 6Ā° ecc
secondo me per capire bene il funzionamento dovrei partire da come si forma la curva, scomporre una formula bene o male riesco, ma ho un vuoto sulla curva e sulla derivata che da come dici ĆØ importante.
osservando la foto la prima EXP con i calcoli delle formule coi CV ed i valori del dominio t
vengono creati una sequenza di punti che collegandoli forma una curva e fin qui tutto bene
(la stessa cosa viene fatto per la derivata prendendo come riferimenti altri valori e altre formule)
ma in entrambi i casi quello che mi sfegge ĆØ ad es: se aumento il dominio del valore t aumenta
la quantitĆ di punti che formano la curva, mentre invece la seconda formula ritorna un solo valore
e diciamo che fin qui ci puĆ² stare, pensandoci bene in una curva con 3 CV che va a formare una specie di arco in quellāarco ci potra essere un solo punto Quad con Y=0 obbligatorio (se lāora nonāĆ© tardi confermo)
eeee Emilio anche questāultimo ragionamento mi porta al discorso sopra che ho fatto prima:
o come la curva di grado 3 anche la derivata ha bisogno di 4 Cv e quindi si deve aggiungere
altre operazioni allāinterno della 2Ā° EXP oppure se basta la 2Ā° formula in foto, si deve Shiftare
Quello che intendevo qui ā¦
ā¦ era che la logica che seguiamo per ricavare i punti Quad eā la stessa, se vuoi lāalgoritmo eā lo stesso, ma applicato alla curva di terzo grado.
I calcoli cambiano, la definizione eā meglio rifarla da zero.
Non serve partire da quella per il secondo grado. Le espressioni sono diverse.
La nuova definizione eā basata su quella che hai postato tu sopra:
Qui in pratica hai giaā il calcolo dei punti Quad: hai i due valori di t che corrispondono ai Quad.
Se inserisci i 4 CV e il calcolo della curva, eā finita.
Esatto
Ma vedo che il paragone con il caso di secondo grado puoā creare confusione.
Lasciamolo stare e riprendiamo il ragionamento generale che stavamo facendo qui:
Calma ā¦ ci stavamo arrivando ā¦ se non saltiamo di palo in frasca
Riprendiamo da qui:
Questo si capisce o meno ?
Certo.
Ricordati di estrarre le Y.
Poi basta aggiungere il calcolo della curva per poter vedere la curva e i punti Quad.
Puoi usare lāespressione oppure anche i componenti GH giaā pronti:
Puoā essere.
Se posti la def con i punti internalizzati, vediamo cosa succede.
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Altro modo di ricavare i Quad, senza usare espressioni:
Dato che la derivata di una curva di BĆ©zier eā a sua volta una curva di BĆ©zier ā¦
Ad esempio:
da qui:
Possiamo utilizzare i componenti GH e intersecare il grafico della derivata con la curva Y = 0
salvio-25.gh (12,6 KB)
eeee bella questa non me lāaspettavo 
la provo subito con la curva di esempio di qualche annetto fa
cosi vedo le differenze anche delle derivate.
stavo pensado ad una cosa osservando la tua foto, e se invede della linea ci mettessi un piano?
Nellāesempio postato la curva originale eā nel piano XY, quindi basta la linea.
Per una curva 3D si puoā usare il piano.
Anzi, direi che con 3 piani puoi cercare i Quad per ogni vista, X, Y o Z ā¦
Ma non ho provato, forse dico cavolate ā¦
E credo che orientando il piano opportunamente possiamo trovate i āQuadā anche per viste inclinate ā¦
Ma ā¦ stesso discorso di prima sulle cavolate.
Emilio, ancora non ho gridato vittoria, essendo che sto cercando di affinarla nei dettagli
in questo caso avevo inserito sia i valori Y che X per calcolarle entrambe
ma credo che bisogna verificare il componente āClean Treeā
a come sembra non funziona come dovrebbe. . .
certo, era se nel caso una derivata potesse avere unāampiezza maggiore della linea